概率论中鏈式法則：
“事件 A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以在事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。”
用数学公式表示就是：
P(A and B) = P(A) * P(B|A)
我们来分解一下这个公式的各个部分：
- P(A and B): 这表示事件 A 发生并且事件 B 也同时发生的概率。可以理解为 A 和 B 这两个条件都满足的情况的概率。
- P(A): 这表示事件 A 发生的概率，没有任何其他条件限制。
- P(B|A): 这是一个条件概率，表示在已知事件 A 已经发生的前提下，事件 B 发生的概率。竖线 "|" 就读作“在...条件下”或“给定”。
现在，我们用一个具体的例子来理解这个公式：
例子：从一副标准的 52 张扑克牌中连续抽取两张牌，不放回。
- 事件 A： 第一次抽到一张红心。
- 事件 B： 第二次抽到一张黑桃。
我们想计算的是 P(第一次抽到红心 且 第二次抽到黑桃)，也就是 P(A and B)。
计算 P(A)：第一次抽到红心的概率
- 一副牌有 52 张，其中红心有 13 张。
- 所以，第一次抽到红心的概率 P(A) = 13/52 = 1/4。
计算 P(B|A)：在第一次抽到红心的条件下，第二次抽到黑桃的概率
- 假设我们第一次抽到了一张红心，那么现在牌堆里还剩下 51 张牌。
- 黑桃的数量没有改变，仍然有 13 张。
- 所以，在第一次抽到红心的条件下，第二次抽到黑桃的概率 P(B|A) = 13/51。
计算 P(A and B)：第一次抽到红心且第二次抽到黑桃的概率
- 根据链式法则：P(A and B) = P(A) * P(B|A)
- P(A and B) = (13/52) (13/51) = (1/4) (13/51) = 13/204。
直观理解：
这个公式的逻辑是这样的：要让事件 A 和事件 B 同时发生，首先事件 A 必须发生。然后，在事件 A 已经发生的基础上，事件 B 也必须发生。这两个步骤都成功了，那么 A 和 B 就同时发生了。
我们先计算事件 A 发生的可能性，然后再考虑在 A 已经发生的情况下，B 发生的可能性。将这两个可能性相乘，就得到了 A 和 B 同时发生的总可能性。
另一个例子：抛硬币和掷骰子
- 事件 A： 抛一枚均匀的硬币，正面朝上。P(A) = 1/2。
- 事件 B： 掷一个均匀的六面骰子，点数为 6。P(B) = 1/6。
在这个例子中，事件 A 和事件 B 是相互独立的，也就是说硬币的结果不会影响骰子的结果。对于相互独立的事件，P(B|A) = P(B)。
那么，事件 A 和事件 B 同时发生的概率是：
P(A and B) = P(A) P(B|A) = P(A) P(B) = (1/2) * (1/6) = 1/12。
总结：
这句话的核心在于强调了条件性。当事件 B 的发生依赖于事件 A 是否发生时（即事件 A 和 B 不是相互独立的），我们就需要考虑在事件 A 已经发生的条件下事件 B 的概率。链式法则提供了一种计算这类联合概率的有效方法。